1.费马小定理
假如p是质数,且gcd(a,p)=1,那么 a^(p-1)≡1(mod p)
证明:为欧拉定理的特殊情况。
2.欧拉定理
若n,a为正整数,且n,a互质,则(其中φ(n)为欧拉函数):
![](http://c.hiphotos.baidu.com/baike/s%3D116/sign=b4a8aa2a7dd98d1072d40830173eb807/0823dd54564e92584b7cba389d82d158cdbf4e9f.jpg)
证明:
将1~n中与n互质的数按顺序排布:x1,x2……xφ(n) (显然,共有φ(n)个数)
我们考虑这么一些数:
m1=a*x1;m2=a*x2;m3=a*x3……mφ(n)=a*xφ(n)
1) 这些数中的任意两个都不模n同余,因为如果有mS≡mR (mod n) (这里假定mS更大一些),就有:
mS-mR=a(xS-xR)=qn,即n能整除a(xS-xR)。但是a与n互质,a与n的最大公因子是1,而xS-xR<n,因而左式不可能被n整除。也就是说这些数中的任意两个都不模n同余,φ(n)个数有φ(n)种余数。
2)这些数除n的余数都与n互质,因为如果余数与n有公因子r,那么a*xi=pn+qr=r(……),a*xi与n不互质,而这是不可能的。那么这些数除n的余数,都在x1,x2,x3……xφ(n)中,因为这是1~n中与n互质的所有数,而余数又小于n.
由1)和2)可知, 数m1,m2,m3……mφ(n)(如果将其次序重新排列)必须相应地同余于x1,x2,x3……xφ(n).
故得出:m1*m2*m3……mφ(n)≡x1*x2*x3……xφ(n) (mod n)
或者说a^[φ(n)]*(x1*x2*x3……xφ(n))≡x1*x2*x3……xφ(n)
或者为了方便:K{a^[φ(n)]-1}≡0 ( mod n ) 这里K=x1*x2*x3……xφ(n)。
可知K{a^[φ(n)]-1}被n整除。但K中的因子x1,x2……都与n互质,所以K与n互质。那么a^[φ(n)]-1必须能被n整除,即a^[φ(n)]-1≡0 (mod n),即a^[φ(n)]≡1 (mod n),得证。
3.指数循环节
其实就是欧拉定理的一种推广。
(其中Φ 为欧拉函数)