1.费马小定理

假如p是质数，且gcd(a,p)=1，那么 a^(p-1)≡1（mod p）

证明：为欧拉定理的特殊情况。

2.欧拉定理

若n,a为正整数，且n,a互质，则（其中φ(n)为欧拉函数）:

　　　

 

证明:

将1~n中与n互质的数按顺序排布：x1,x2……xφ(n) （显然，共有φ(n)个数）

我们考虑这么一些数：

m1=a*x1;m2=a*x2;m3=a*x3……mφ(n)=a*xφ(n)

1）

这些数中的任意两个都不模n同余，因为如果有mS≡mR (mod n) （这里假定mS更大一些），就有：

mS-mR=a(xS-xR)=qn，即n能整除a(xS-xR)。但是a与n互质，a与n的最大公因子是1，而xS-xR<n，因而左式不可能被n整除。也就是说这些数中的任意两个都不模n同余，φ(n)个数有φ(n)种余数。

2）这些数除n的余数都与n互质，因为如果余数与n有公因子r，那么a*xi=pn+qr=r(……)，a*xi与n不互质，而这是不可能的。那么这些数除n的余数，都在x1,x2,x3……xφ(n)中，因为这是1~n中与n互质的所有数，而余数又小于n.

由1）和2）可知，

数m1,m2,m3……mφ(n)（如果将其次序重新排列）必须相应地同余于x1,x2,x3……xφ(n).

故得出：m1*m2*m3……mφ(n)≡x1*x2*x3……xφ(n) (mod n)

或者说a^[φ(n)]*(x1*x2*x3……xφ(n))≡x1*x2*x3……xφ(n)

或者为了方便：K{a^[φ(n)]-1}≡0 ( mod n ) 这里K=x1*x2*x3……xφ(n)。

可知K{a^[φ(n)]-1}被n整除。但K中的因子x1,x2……都与n互质，所以K与n互质。那么a^[φ(n)]-1必须能被n整除，即a^[φ(n)]-1≡0 （mod n），即a^[φ(n)]≡1 （mod n），得证。

 

3.指数循环节

其实就是欧拉定理的一种推广。

 

（其中Φ 为欧拉函数）